Obsah

Modelování spojitých systémů

(bloková schémata, rovnice, numerické metody a jejich vlastnosti)


Části převzaté z Principy modelování a simulace systémů.

Spojité systémy mají chování specifikované pro každý okamžik v čase. Chování je tedy funkcí závislou na čase, může jít např. o diferenciální rovnice. Simulace na číslicových systémech je diskrétní, postupuje se v čase po nějakých malých časových krocích. Délka kroku může být proměnlivá v závislosti na velikosti (odhadu) chyby způsobené diskretizací.

Řízení simulace

Řízení simulace je jednoduché:

  1. inicializace počátečních podmínek
  2. posun v čase o krok dopředu
  3. vypočítání nových stavů všech proměnných v systému
  4. goto 2

Většinou je simulace prováděna po určitý koncový čas. Aby simulace doběhla přesně do tohoto času, je nutné při posledním kroku dokročit. Poslední krok simulace je prodloužen tak, aby končil až v koncovem čase.

Bloková schémata

Soustava rovnic může být spojitým modelem, pokud některé z proměnných či koeficientů jsou závislé na čase. Soustavu rovnic lze reprezentovat pomocí blokového schématu, sestaveného následovně:

Mějme rovnici <m>y prime prime - 2y prime + y = x</m>. Metodou snižování řádů derivaci získáme následující rovnice:

Blokové schéma pak bude vypadat následovně:

Numerické metody

Numerické metody poskytují diskrétní řešení diferenciálních rovnic. Obvykle je implementovaný prvek označovaný jako integrátor, který řeší obyčejnou diferenciální rovnici prvního řádu, která má obvykle tvar (obecně může být neznámá i jiná než t, ale při simulacích jde logicky o čas):

<m>y prime = f(t, y)</m>

Význam této rovnice je takový, že změna hodnoty proměnné je závislá na čase a aktuálním stavu. Po integrátoru se v každém čase simulace požaduje zjistit další hodnotu proměnné. K tomu integrátor využívá nějakou numerickou metodu.

Typy metod

Eulerova metoda

Jednokroková. Pouze první člen Taylerova rozvoje:

<m>y_{t+h} = y_t + hf(t, y_t)</m>, kde t je aktuální čas a h je velikost kroku.

Runge-Kutta

Třída jednokrokových metod, které se liší „řádem“, tedy počtem mezikroků. Všechny se vyznačují tím, že počítají několik bodů uvnitř následujícího kroku a výsledek je vážený průměr těchto bodů.

Stabilita

Pro použití u tuhých systému jsou vhodné metody, které jsou stabilní pro celou komplexní polorovinu „nalevo“ od počátku.

Parciální diferenciální rovnice

Rovnice obsahující derivace podle více proměnných. Řád určuje nejvyšší derivace. Vstupy do simulace jsou:

Metody řešení parciálních diferenciálních rovnic

Metoda konečných diferencí
Metoda přímek