Pumping lemma

Lemma

Nechť L je regulární jazyk. Pak existuje n ∈ N takové, že libovolné slovo w ∈ L délky alespoň n lze psát ve tvaru w = xyz, kde |xy| ≤ n, y ≠ ε a xyⁱz ∈ L pro každé i ∈ N₀.

Šablona

Tohle nedokazuje, že by jazyk L byl regulárním (to pumping lemma stejně neumí)! Jen usnadňuje důkaz že jím není.

Nechť n je libovolné.

Volíme w = náležící L, platí |w| ≥ n.

Pro každé x, y, z náležící Σ* existuje w = xyz, |xy| ≤ n, y ≠ ε platí:

Pro i = platí: xyⁱz = ∉ L protože, .

Z pumping lemmy plyne, že L není regulární.

My volíme w (musí záviset na n) a pumpovací konstantu i (i ≠ 1). Rozdělení na xyz volí „nepřítel“.

Příklad

L = {aⁱb^ja²ⁱ | 0 ≤ i, 0 ≤ j ≤ 5}

Nechť n je libovolné.

Volíme w = aⁿb⁴a²ⁿ náležící L, platí |w| ≥ n.

Pro každé x, y, z náležící Σ* existuje w = xyz, |xy| ≤ n, y ≠ ε platí:

x = a^m
y = a^n−m
z = b⁴a²ⁿ

Pro i = 2 platí: xyⁱz = a^2n−mb⁴a²ⁿ ∉ L protože, 2n − m ≠ 2n.

Obdobně to nebude platit ani pro libovolná jiná rozdělení x, y, z.

Z pumping lemmy plyne, že L není regulární.