Reprezentace čísel a základní dvojkové aritmetické operace v počítači

Doplňkové kódy

Slouží pro zápis záporných čísel, kladná zůstavají nezměněná. Stejně jako v přímém kódu slouží 1 na nejvyšším bitu pro identifikaci záporného čísla. Výhodou této reprezentace je, že existuje pouze jeden tvar pro reprezentaci nuly (v přímém je i záporná nula, např. 10000000) a hlavně pro odečítání není potřeba zvláštního algoritmu, protože funguje stejně jako sčítání. To samozřejmě šetří hardware:-)

Postup: Najdi první 1 zprava, zbytek (kromě znaménkového bitu) invertuj.

00101010	42 v přímém kódu
00101010	42 v doplňkovém kódu
10101010	−42 v přímém kódu
11010110	−42 v doplňkovém kódu

Sčítání

To je snad triviální… jen pozor na přenos a přetečení.

0101 5 1001 9
+0100 4 +1010 10
------- -------
1001 9 10011 19
^
Přetečení

Sčítat je možné i v doplňkovém kódu. Výsledek pak bude na stejném počtu bitů jako vstup, i když by přenos způsobil přetečení. Pro detekci přetečení se používá XOR dvou nejlevější bitů přenosu - pokud vyjde XOR 1, jde o chybu.

0111 7 v doplňkovém kódu
+0001 1 v doplňkovém kódu
0111 Přenos, nejlevější bity 01, FAIL
--------
1000 −8 v doplňkovém kódu, chyba

Odčítání

Podobné jako sčítání, ale pokud od 0 odečteme 1, výsledek je 1 a musíme odečíst 1 (vypůjčit si) i ze sloupečku vlevo.

1001 9
−0101 5
-------
0100 4

V doplňkovém kódu se čísla normálně sečtou.

01001 9
+11011 −5 v doplňkovém kódu
11011 Přenos, nejlevější bity 11, OK
---------
00100 4

Násobení

V základním provedení docela snadné, vychází ze základního principu násobení. Bereme zleva bity z násobitele. Když je bit 0, napíšeme do mezivýsledku tolik 0 koli bitů má násobenec (nebo řádek úplně vynecháme). Když je bit 1, opíšeme do mezivýsledku násobenec. Po každám bitu z násobitele mezivýsledek o jeden bit posuneme vlevo. Nakonec sečteme mezivýsledky.

1011
×1010
-----
0000
1011
0000
1011
-------
1101110

Boothův algoritmus

Používá se k násobení dvou čísel v se znaménkem v doplňkovém kódu. Viz Wikipedie.

Pevná řádová čárka

V tomto zobrazení definujeme místa před a místa za řádovou čárkou. Dnes už se pro desetinná čísla téměř nepoužívá. Na klasická celá čísla se dá pohlížet jako na čísla s pevnou řádovou čárkou a 0 místy za čárkou.

Pohyblivá řádová čárka

Při použití pohyblivé řádové čárky se číslo definuje jako:

X YYYYYYYY ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

X je znaménkový bit (1 znamená záporné), Y je exponent a Z je tzv. mantisa, která je desetinnou částí zlomku. Výsledné číslo se získá jako:

(-1)X * 2(exponent v kodu posunute nuly) * (1.Z)

Existují některé speciální stavy:

e = 0, f = 0 → číslo = 0

e = max, f = 0 → číslo = nekonečno

e = max, f <> 0 → číslo = NaN (not a number)

Příklad: Máme reprezentaci pomocí čtyř bitů exponentu a osmi bitů mantisy. Chceme vyjádřit číslo -10,8. Nejdřív z tohoto čísla vyhodíme zápor a pak vyhaxujeme exponent, tedy vydělíme ho takovou mocninou 2, aby vzniklo číslo v rozsahu <1,2). 10,8/8 = 1,35. Odsekneme 1. (protože počítáme s tím,ž e tam vždycky je), takže nám jako mantisa vyjde 35. Výsledné číslo v této reprezentaci bude vypadat tedy takto:

1 1000 00100011 (znamenko exponent mantisa).

Více dále ve standardech:

Standard IEEE 754

Ukládá binární čísla v plovoucí desetinné čárce na 32 bitech (jednoduchá přesnost) nebo 64 bitech (dvojitá přesnost). Dané číslo je rozděleno na základ a exponent. Nejlevější bit je vždy znaménkový, následuje 8 bitů pro exponent a zbylých 23 je základ. Na 64 bitech je rozdělení 1, 11, 52.

IEEE-754 Single Precision Representation: Part 1 of 2

IEEE-754 Single Precision Representation: Part 2 of 2

Shrnutí

základní jednotka informace: 1 bit (true x false)

⇒ počítače pracují ve dvojkové soustavě

přímý kód: první bit ukazuje znaménko čísla, odečítání je jiný postup než sčítání

doplňkový kód: první bit také ukazuje znaménko, ale převod z kladného na záporné: znegovat všechny bity nalevo od první jedničky zprava

doplněk jedničky: obsahuje zápornou nulu, dvojkový doplněk: záporná nula není

odečítání v doplňkovém formátu: druhé číslo se převede na záporné a sčítání pak funguje úplně stejně (pozor na přetečení), čili výhodnější formát

kód posunuté nuly: od čísla se při reprezentaci odečte polovina rozsahu (např. u floatů v exponentu)

desetinná čísla: vědět, jak to funguje, znaménko, exponent, mantisa

pevná řádová čárka: používá se dnes jen pro celá čísla

IEEE 754: definuje aritmetiku pro plovoucí řádovou čárku, single precision (32bit), double precision (64bit), pak ještě základní a dvojité rozšíření – to druhé se běžně používá o délce 80bit v dnešních FPU