Základní algebraické metody

Podalgebry

Pokud omezíme množinu algebry a všechny další vlastnosti zůstanou zachovány, dostáváme podalgebru.

Homomorfismy

Zobrazení třeba z (ℂ, +) → (ℝ, ⊕).

f(a + b) = f(a) ⊕ f(b)
a, b ∈ ℂ

Když má ta struktura víc operací, musí se dokazovat pro všechny!

Jádro jsou ty prvky, které se zobrazí na neutrální prvek. Pokud má jádro právě jeden prvek, je homomorfizmus injektivní.

Přímé součiny

Lze provést pro n algeber téhož typu.

Množina hodnot A je kartézský součin množin hodnot jednotlivých (A₁ × A₂ × … × Aₙ) (tj. hodnoty jsou n-tice, kde n-tý prvek je z množiny hodnot n-té algebry).

Operace přímého součinu jsou definovány nad n-ticemi hodnot tak, že výsledek operace je n-tice výsledků příslušných operací jednotlivých algeber nad příslušnými prvky n-tic (n-tý prvek výsledku se rovná výsledku provedení příslušné operace n-té algebry nad n-tými prvky vstupu).

U₁ = (A₁, +), U₂ = (A₂, ·)
U₁ × U₂ = (A₁ × A₂, ☆)
(a₁, a₂) ☆ (b₁, b₂) = (a₁ + b₁, a₂ · b₂)

Kongruence

g₁ ≡ g₂ ∧ h₁ ≡ h₂ ⇒ g₁ ★ h₁ ≡ g₂ ★ h₂

★ je libovolná operace ve struktuře

≡ znamená kongruence

Pravá kongruence: g₁ ≡ g₂ ⇒ g₁ ★ w ≡ g₂ ★ w

Aby to vůbec mohla být kongruence, musí platit relace ekvivalence!

Reflexivita: a ~ a

Symetrie: a ~ b ∧ b ~ a

Tranzitivita: a ~ b ∧ b ~ c ∧ c ~ a

Faktorové algebry

Normální podgrupy

Mějme grupu G = (M, ☆). Pokud vytvoříme novou strukturu P = (N, ☆), kde N ⊂ M a P je stále grupa, říkáme jí podgrupa.

Normální podgrupa je, když m ☆ n ☆ m⁻¹1) inverzní prvek ∈ P (m ∈ M, n ∈ N).

Ideály okruhů

Mějme okruhy (R, ⊕, ⊗) a (I, ⊕, ⊗) kde I ⊂ R.

I je pak ideálem R, pokud platí:

(I, ⊕) je podgrupou (R, ⊕)

∀ x ∈ I, ∀ r ∈ R: x ⊗ r ∈ I (pravý ideál)

∀ x ∈ I, ∀ r ∈ R: r ⊗ x ∈ I (levý ideál)

Pokud platí jen jedna z posledních dvou podmínek, je to pravý (levý) ideál.