Normované a unitární prostory

Základní vlastnosti a příklady

Vector space

Nosnou množinou jsou n-tice – vektory.

Pro vektory platí sčítání (po složkách), existuje neutrální pvek (nulový vektor) a inverzní prvky.

Vektory lze také násobit skalárem (každá složka se skalárem vynásobí), platí distributivita a asociativita.

Vektory jsou lineárně nezávislé pokud je nelze získat lineární kombinací1) sčátáním a násobením jiných vektorů v množině.

Dimenze je největší počet lineárně nezávislých vektorů které lze nalézt.

Báze je libovolný systém n lineárně nezávislých prvků v n-dimenzionálním prostoru.

Normované prostory konečné dimenze

Pokud má každý prvek normu, je to normovaný prostor. Normu značíme ||x||. Platí pro ní to samé, co pro metriku (nezáporná, torjúhelníková nerovnost, …). V podstatě je to délka vektoru.

Každý normovaný prostor je metrický.

Prostor konečné dimenze je prostor, ve kterém lze nalézt nejvýše n navzájem lineárně nezávislých vektorů, kde n je konečné.

Reiszova věta: aby posloupnost vektorů konvergovala k nějakému vektoru je nutné a stačí aby jednotlivé příslušné složky vektorů konvergovaly k příslušné složce vektoru (tj, aby první položky vektorů tvořily konvergentní řadu, druhé složky vektorů také, …)

Uzavřené ortonormální systémy

Fourierovy řady

Fourier series