Úkol 4

Bc. Jan Kaláb <xkalab00@stud.fit.vutbr.cz>

Příklad 1

Pomocí počátečních funkcí, a operátorů kombinace, kompozice a primitivní rekurze výjádřete funkci počítající zbytek po celočíselném dělení:

mod: ℕ² → ℕ, mod(x, y) = z takové, že x = y * k + z pro nějaké k ∈ ℕ.

Je možné použít funkce plus(x, y) a mult(x, y) definované v přednáškách, kromě nich nepoužívejte žádné další funkce zavedené na přednáškách mimo funkce počáteční. Nepoužívejte zjednodušenou syntaxi zápisu funkcí – dodržte přesně definiční tvar operátorů kombinace, kompozice a primitivníé rekurze.

mod(0, y) = 0

mod(x + 1, y) = mod(x, y) + (y > mod(x, y) + 1)

Příklad 2

Mějme danou primitivně rekurzivní funkci crypt: ℕ → ℕ, která pro daný vstup (zakódovaný jako přirozené číslo) vrátí jeho zašifrovanou podobu (opět zakódovanou jako přirozené číslo).

Navrhněte parciálně rekurzivní funkci decrypt: ℕ → ℕ takovou, že ∀n ∈ ℕ. decrypt ∘ crypt(n) = n. Můžete použít zjednodušenou formu zápisu funkcí.

Pozn.: O vlastním fungování funkce crypt nemáte k dispozici žádné další informace. V případě, že existují x, y ∈ ℕ takové, že x ≠ y ∧ crypt(x) = crypt(y), pak výsledkem decrypt ∘ crypt(x) může být x, nebo y.

Příklad 3

Mějme následující funkce:

f(n) = sqrt(2)n³

g(n) = 10000n² + 500n + 211

Dokažte, že O(g(n)) ⊂ O(f(n)).

Pozn.: Nezapomeňte, že důkaz má dvě části: (i) O(g(n)) ⊆ O(f(n)) a (ii) O(g(n)) ≠ O(f(n))

Příklad 4

Tři kamarádi se rozhodli navštívit autem všechny obce v jednom regionu. Rádi by svoji cestu naplánovali tak, aby každou obec navštívili právě jednou (průjezd obcí se počítá jako její návštěva). Pro zjednodušení předpokládejme, že křižovatky silnic jsou pouze uvnitř obcí.

Dokažte redukcí z nějakého známého NP-těžkého problému, že problém existence vhodné trasy je NP-těžký.

Nápověda: Zvlášť vhodný je jeden z níže uvedených problémů:

Uzlové pokrytí neorientovaného grafu množinou uzlů (o velikosti k-uzlů)

Existence Hamiltonské kružnice v neorientovaném grafu

Existence kliky dané velikosti

Barvitelnost – lze daný neorientovaný graf obarvit určitým počtem barev