Modelování spojitých systémů
(bloková schémata, rovnice, numerické metody a jejich vlastnosti)
Části převzaté z Principy modelování a simulace systémů.
Spojité systémy mají chování specifikované pro každý okamžik v čase. Chování je tedy funkcí závislou na čase, může jít např. o diferenciální rovnice. Simulace na číslicových systémech je diskrétní, postupuje se v čase po nějakých malých časových krocích. Délka kroku může být proměnlivá v závislosti na velikosti (odhadu) chyby způsobené diskretizací.
Řízení simulace
Řízení simulace je jednoduché:
inicializace počátečních podmínek
posun v čase o krok dopředu
vypočítání nových stavů všech proměnných v systému
goto 2
Většinou je simulace prováděna po určitý koncový čas. Aby simulace doběhla přesně do tohoto času, je nutné při posledním kroku dokročit. Poslední krok simulace je prodloužen tak, aby končil až v koncovem čase.
Bloková schémata
Soustava rovnic může být spojitým modelem, pokud některé z proměnných či koeficientů jsou závislé na čase. Soustavu rovnic lze reprezentovat pomocí blokového schématu, sestaveného následovně:
vstupní a výstupní proměnné jsou vstupem a výstupem blokového schématu
pokud je nějaká proměnná potřebná na vstupu více bloků, je její spoj větvený a přivedený do těchto bloků
bloky mohou být integrátory, sčítačky, násobičky různými koeficienty
koeficienty mohou být:
nezávislé na čase (stacionární systémy)
časově proměnné
konstantní (lineární systémy)
nelineární funkce (nelineární systémy)
zpětná vazba: pokud nějaký prvek potřebuje jako vstup hodnotu, která je závislá na jeho výstupu (typicky u integrátorů)
Mějme rovnici <m>y prime prime - 2y prime + y = x</m>. Metodou snižování řádů derivaci získáme následující rovnice:
<m>y prime prime = 2y prime - y + x</m>
<m>y prime = int{}{}{y prime prime}</m>
<m>y = int{}{}{y prime}</m>
Blokové schéma pak bude vypadat následovně:
Numerické metody
Numerické metody poskytují diskrétní řešení diferenciálních rovnic. Obvykle je implementovaný prvek označovaný jako integrátor, který řeší obyčejnou diferenciální rovnici prvního řádu, která má obvykle tvar (obecně může být neznámá i jiná než t, ale při simulacích jde logicky o čas):
<m>y prime = f(t, y)</m>
Význam této rovnice je takový, že změna hodnoty proměnné je závislá na čase a aktuálním stavu. Po integrátoru se v každém čase simulace požaduje zjistit další hodnotu proměnné. K tomu integrátor využívá nějakou numerickou metodu.
Typy metod
Eulerova metoda
Jednokroková. Pouze první člen Taylerova rozvoje:
<m>y_{t+h} = y_t + hf(t, y_t)</m>, kde t je aktuální čas a h je velikost kroku.
Runge-Kutta
Třída jednokrokových metod, které se liší „řádem“, tedy počtem mezikroků. Všechny se vyznačují tím, že počítají několik bodů uvnitř následujícího kroku a výsledek je vážený průměr těchto bodů.
Stabilita
Nestabilní metoda: při určité velikosti kroku se výsledky neustále vzdalují od přesného řešení.
Každá metoda má jinak definovanou oblast stability, což je plocha v komplexní rovině, na které leží vlastní čísla matice soustay dif. rovnic.
eh?
Některé metody jsou kvůli nevhodné oblasti nepoužitelné pro tuhé systémy, protože by bylo potřeba použít příliš krátky integrační krok (⇒ neefektivní).
Pro použití u tuhých systému jsou vhodné metody, které jsou stabilní pro celou komplexní polorovinu „nalevo“ od počátku.
Parciální diferenciální rovnice
Rovnice obsahující derivace podle více proměnných. Řád určuje nejvyšší derivace. Vstupy do simulace jsou:
Počáteční podmínky, tedy hodnoty proměnných v čase 0.
Okrajové podmínky, tedy omezující podmínky pro některé proměnné, které omezují řešení rovnic na určitou „oblast“ (interval hodnot pro tuto proměnnou). Příkladem je např. model kmitající struny, která má danou délku a na krajích je upevněna. Okrajové podmínky pro výchylku i derivaci výchylky jsou nastaveny pevně na 0.
Metody řešení parciálních diferenciálních rovnic
Metoda konečných diferencí
diference = lineární kombinace funkčních hodnot v okolních bodech
oblast vyhraněná okrajovými podmínkami je pokryta sítí uzlových bodů
v těchto bodech jsou derivace nahrazeny diferencemi
řešení soustavy rovnic
analogie ke konečnému automatu
Metoda přímek
stejné jako metoda konečných diferencí, ale je derivace jedné proměnné je ponechána (zbylé proměnné jsou nahrazeny diferencemi)
soustava obyč. diferenciálních rovnic, řešení numerickými metodami viz výše
DSCT - discrete space continuous time - diference v prostoru, derivace zůstává u časové proměnné
taky analogie ke konečnému automatu