Pokud omezíme množinu algebry a všechny další vlastnosti zůstanou zachovány, dostáváme podalgebru.

Zobrazení třeba z (ℂ, +) → (ℝ, ⊕).

f(a + b) = f(a) ⊕ f(b)
a, b ∈ ℂ

Když má ta struktura víc operací, musí se dokazovat pro všechny!

Jádro jsou ty prvky, které se zobrazí na neutrální prvek. Pokud má jádro právě jeden prvek, je homomorfizmus injektivní.

• Lze provést pro n algeber téhož typu.
• Množina hodnot A je kartézský součin množin hodnot jednotlivých (A₁ × A₂ × … × Aₙ) (tj. hodnoty jsou n-tice, kde n-tý prvek je z množiny hodnot n-té algebry).
• Operace přímého součinu jsou definovány nad n-ticemi hodnot tak, že výsledek operace je n-tice výsledků příslušných operací jednotlivých algeber nad příslušnými prvky n-tic (n-tý prvek výsledku se rovná výsledku provedení příslušné operace n-té algebry nad n-tými prvky vstupu).

U₁ = (A₁, +), U₂ = (A₂, ·)
U₁ × U₂ = (A₁ × A₂, ☆)
(a₁, a₂) ☆ (b₁, b₂) = (a₁ + b₁, a₂ · b₂)

g₁ ≡ g₂ ∧ h₁ ≡ h₂ ⇒ g₁ ★ h₁ ≡ g₂ ★ h₂

• ★ je libovolná operace ve struktuře
• ≡ znamená kongruence

Pravá kongruence: g₁ ≡ g₂ ⇒ g₁ ★ w ≡ g₂ ★ w

Aby to vůbec mohla být kongruence, musí platit relace ekvivalence!

1. Reflexivita: a ~ a
2. Symetrie: a ~ b ∧ b ~ a
3. Tranzitivita: a ~ b ∧ b ~ c ∧ c ~ a

Mějme grupu G = (M, ☆). Pokud vytvoříme novou strukturu P = (N, ☆), kde N ⊂ M a P je stále grupa, říkáme jí podgrupa.

Normální podgrupa je, když m ☆ n ☆ m⁻¹¹⁾ ∈ P (m ∈ M, n ∈ N).

Mějme okruhy (R, ⊕, ⊗) a (I, ⊕, ⊗) kde I ⊂ R.

I je pak ideálem R, pokud platí:

• (I, ⊕) je podgrupou (R, ⊕)
• ∀ x ∈ I, ∀ r ∈ R: x ⊗ r ∈ I (pravý ideál)
• ∀ x ∈ I, ∀ r ∈ R: r ⊗ x ∈ I (levý ideál)

Pokud platí jen jedna z posledních dvou podmínek, je to pravý (levý) ideál.